Lecture 7: Divide and Conquer¶

分治法。关于 Closest Pair Problem 查阅 PPT。这里主要介绍对于分治法的递推式

\[ T(N) = aT(n/b) + f(N) \]

的三种时间复杂度分析方法。

1 Substitution Method¶

先猜后证。

这里举两个例子。

正确的方法

例如我们有递推式

\[ T(N) = 2T(\lfloor N/2 \rfloor) + N \]

对此进行分析。

我们猜测 $T(N)=O(NlogN)$。证明如下：

在假设 $T(N)=O(NlogN)$ 的情况下，对任意的 $m<N$ 都成立，那么这里取 $m=\lfloor N/2 \rfloor$。则存在常数 $c>0$，使得 $$ T(\lfloor N/2 \rfloor) \le c \lfloor N/2 \rfloor log (\lfloor N/2 \rfloor) $$

那么根据题干的递推式，可得：

\[ \begin{aligned} T(N) &= 2T(\lfloor N/2 \rfloor) + N \\ &\le 2c \lfloor N/2 \rfloor log (\lfloor N/2 \rfloor) + N\\ &\le cN(logN-log2) + N\\ &\le cNlogN\\&(for\ c \ge 1) \end{aligned} \]

从而答案正确。

错误的示范

例如我们还是用这个递推式

\[ T(N) = 2T(\lfloor N/2 \rfloor) + N \]

对此进行另一种猜测。

我们猜测 $T(N)=O(N)$。证明如下：

在假设 $T(N)=O(N)$ 的情况下，对任意的 $m<N$ 都成立，那么这里取 $m=\lfloor N/2 \rfloor$。则存在常数 $c>0$，使得 $$ T(\lfloor N/2 \rfloor) \le c \lfloor N/2 \rfloor $$

那么根据题干的递推式，可得：

\[ \begin{aligned} T(N) &= 2T(\lfloor N/2 \rfloor) + N \\ &\le 2c \lfloor N/2 \rfloor+ N\\ &\le cN+ N\\ &\le (c+1)N = O(N)\\&(for\ c \ge 1) \end{aligned} \]

从而答案正确。吗？

错误！ 在运用这种方法的时候需要证明 "Exact Form"，猜测的是 $T(N)\le cN$，证明到最后的常数就应该是 $c$，而没有后面的 $+N$。